Question

【题目】徐州市为加快新老城区的融合并进一步缓解交通压力，现经过食品城至新城区（昆仑大道）和食品城至高速入口（迎宾大道），分别修建地铁2号线和快速通道，如图，已知两条公路夹角为60°，为了便于施工拟在两条公路之间的区域内建一混凝土搅拌站P，并分别在两条公路边上建两个中转站M、N (异于点A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．

(1)

(2)问为多大时，使得混凝土搅拌站产生的噪声对食品城的影响最小(即搅拌站与食品城的距离最远)．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)设计∠AMN为60时，混凝土搅拌站产生的噪声对食品城的影响最小．

【解析】试题分析：（1）根据正弦定理，即可θ表示AM;（2）根据三角函数的图象和性质，即可求出函数的最值．

试题解析：

（1）因为∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．

因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ．

（2）在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．

由（1）知AM＝sin(120°－θ)

所以AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP

＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ) cos(60°＋θ)

＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4

＝ [1－cos (2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4…

＝－ [sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋

＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)．

当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．

答：设计∠AMN为60时，混凝土搅拌站产生的噪声对食品城的影响最小．