Question

【题目】设函数f（x）=xlnx+ax，a∈R．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若对x＞1，f（x）＞（b+a﹣1）x﹣b恒成立，求整数b的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1时，f（x）=xlnx+x（x＞0）．f（1）=1．

f′（x）=lnx+2，f′（1）=2．

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），

化为：2x﹣y﹣1=0．

（2）解：对x＞1，f（x）＞（b+a﹣1）x﹣b恒成立，b＜ ．

令g（x）= ，则g′（x）= = ．

令h（x）=x﹣lnx﹣2，x＞1．

h′（x）=1﹣ ＞0，可知：函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．

∴h（x）＞h（1）=﹣1，

因此函数h（x）存在唯一零点x0∈（3，4），x0﹣lnx0﹣2=0．

使得g（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．

∴x=x0时，函数g（x）取得极小值即最小值，

∴b＜ = =x0．

因此整数b的最大值为3

【解析】（1）a=1时，f（x）=xlnx+x（x＞0）．f（1）=1．f′（x）=lnx+2，f′（1）=2．利用点斜式即可得出．（2）对x＞1，f（x）＞（b+a﹣1）x﹣b恒成立，b＜ ．令g（x）= ，则g′（x）= = ．令h（x）=x﹣lnx﹣2，x＞1．L利用导数可知：函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．h（x）＞h（1）=﹣1，因此函数h（x）存在唯一零点x0∈（3，4），x0﹣lnx0﹣2=0．可得x=x0时，函数g（x）取得极小值即最小值，代入可得b＜x0．即可得出．