Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（2）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

（3）当时，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3；（3）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）首先将问题转化为在[1，2]上恒成立，然后将其转化为二次函数的图像及其性质即可得出所求的结果；（2）首先假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，并求出其导函数，然后对其进行分类讨论：①当a≤0时；②当时；③当时，分别利用导数研究函数的单调性并求出其最值即可得出所求的结果；（3）首先令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min，然后令，并求出其导函数，进而得出其最大值，最后得出不等式成立.

试题解析：（1）在[1，2]上恒成立，

令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，得.

（2）假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，

①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），

②当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增

∴，a=e2，满足条件．

③当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），

综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．

（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min=3．令，，

当0＜x≤e时，'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上单调递增∴

∴，即．