Question

【题目】已知数列满足.

（1）若，证明：

（i）当时，有；

（ii）当时，有.

（2）若，证明：当时，有.

Answer 1

【答案】（1）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析；（2）见解析.

【解析】

因为，

所以，，即数列为递增数列.

（1）（ⅰ）由及，可得，.

于是，当时，.

故

.

因此，当时，.

（ⅱ）因为时，，

所以，，.

由，可得

.

用数学归纳法证明：

.

当时，，结论成立.

假设结论对成立，即，则结合（ⅰ）的结论可得

，

即当时，结论也成立.

综合可知，不等式对一切都成立.

因此，当时，

，

即.

又，，则当时，有

.

（2）由于，而数列为递增数列，故当时，有.

由，可得

.

而，于是，

.

下面证明：当时，有

.

根据及，计算得

，，，

.

故当时，结论成立.

假设结论对成立，即

.

因为，而函数在时为增函数，所以，

，

即当时，结论也成立.

综合可知，不等式对一切都成立.

于是，当时，.

故.

所以，.