Question

【题目】[选修4-4：坐标系与参数方程]:在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线，的直角坐标方程；

（2）判断曲线，是否相交，若相交，请求出交点间的距离；若不相交，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）

【解析】

（1）由题意，消去参数，即可得到曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可得到曲线的直角坐标方程；

（2）由（1），将代入曲线，求得，，在由曲线，两交点间的距离公式，即可求解。

（1）将，消去参数，得曲线的直角坐标方程为，

将展开整理，得，

因为，，

所以曲线的直角坐标方程为.

（2）由（1）知曲线是过定点的直线，因为点在曲线的内部，所以曲线与曲线相交.将代入并整理，得，

设曲线，的两交点为，，则，，

故曲线，两交点间的距离 .