Question

【题目】过点作已知直线的平行线，交双曲线于点.

（1）证明：Q是线段MN的中点；

（2）分别过点M、N作双曲线的切线，证明：三条直线相交于同一点；

（3）设为直线上一动点，过作双曲线的切线，切点分别为，证明：点Q在直线AB上.

Answer 1

【答案】（1）见解析；(2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）直线MN的方程为.

代入双曲线方程，得.

设、，则是方程的两根，故.

于是，.

故是线段MN的中点.

（2）双曲线的过点M、N的切线方程分别为

，.

两式相加并将，代入得.

这说明，直线的交点在直线上，即三直线相交于同一点.

（3）设、、，则PA、PB的方程分别为

和.

因为点P在两条直线上，所以，

，

这表明，点A、B都在直线上，即直线AB的方程为.

又，代入整理得

显然，无论取什么值（即无论P为直线l上哪一点），点Q（-1，-1）都在直线AB上.