Question

【题目】设函数f（x）的定义域为U=（0，+），且满足条件f（4）=1。对任意的x1，x2∈U，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），且当x1≠x2时，有>0。

（1）求f（1）的值；

（2）如果f（x+6）+f（x）>2，求x的取值范围。

Answer 1

【答案】(1) f（1）=0 (2) （2，+）

【解析】试题分析: (1)令x1=x2=l，代入f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），即可求出f（1）的值；（2）设0<x1<x2，则x2-x1>0.又因为当x1≠x2时， >0，所以f（x2）-f（x1）>0，即f（x2）>f（x1），所以f（x）在定义域内为增函数. 令x1=x2=4，可求出f（16）=2, 当即x>0时，原不等式可化为f[x（x+6）]>f（16）,根据函数的单调性解出不等式,即x的范围.

试题解析:

(1)因为对任意的x1，x2∈U，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），

所以令x1=x2=l，得f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），所以f（1）=0。

（2）设0<x1<x2，则x2-x1>0。

又因为当x1≠x2时， >0，

所以f（x2）-f（x1）>0，即f（x2）>f（x1），所以f（x）在定义域内为增函数。

令x1=x2=4，得f（4×4）=f（4）+f（4）=1+1=2，即f（16）=2。

当即x>0时，原不等式可化为f[x（x+6）]>f（16）。

又因为f（x）在定义域上为增函数，所以x（x+6）>16，解得x>2或x<-8。

又因为x>0，所以x>2。所以x的取值范围为（2，+）。

点睛:证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.