Question

【题目】已知函数f（x）=ax﹣lnx，F（x）=ex+ax，其中x＞0．
（1）若a＜0，f（x）和F（x）在区间（0，ln3）上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；
（2）设函数h（x）=x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2 ， 且x1∈（0， ），求证：h（x1）﹣h（x2）＞ ﹣ln2．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=a﹣ = ，F′（x）=ex+a，x＞0，

∵a＜0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上单调递减，

当﹣1≤a＜0时，F′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意；

当a＜﹣1时，由F′（x）＞0，得x＞ln（﹣a），由F′（x）＜0，得0＜x＜ln（﹣a），

∴F（x）的单调减区间为（0，ln（﹣a）），单调增区间为（ln（﹣a），+∞）．

∵f（x）和F（x）在区间（0，ln3）上具有相同的单调性，

∴ln（﹣a）≥ln3，解得a≤﹣3，

综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣3]

（2）解：证明：h（x）=x2﹣ax+lnx，∴h′（x）= ，（x＞0），

x1x2= ，则x2= ，

h（x1）﹣h（x2）=lnx1+x12﹣ax1﹣lnx2﹣x22+ax2

=ln +[x1+x2﹣2（x1+x2）（x1﹣x2）

=ln2+2lnx1﹣x12+ ，

令g（x1）=ln2+2lnx1﹣x12+ ，

则g′（x）= ﹣2x1﹣ =﹣ ，

∵0＜x1＜ ，∴g′（x1）＜0，

∴g（x1）在（0， ）上单调递减，

∴g（x1）＞g（ ），而g（ ）= ﹣ln2，

即g（x1）＞ ﹣ln2，

∴h（x1）﹣h（x2）＞ ﹣ln2

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的范围即可；（2）先求出h（x1）﹣h（x2）=ln2+2lnx1﹣x12+ ，构造函数，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而证明结论．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．