Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足。

（1）求证：A，B，C三点共线；

（2）若A（1，cosx），B（1+sinx，cosx），且x∈[0， ]，函数f（x）=（2m+）||+m2的最小值为5，求实数m的值。

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) m的值为-3或

【解析】试题分析: （1）因为,且,化简可得,即∥，又与有公共点A，则命题成立; （2）根据和=-求出,的坐标,代入解析式f（x）,化简可得关于sin x的二次函数,讨论对称轴与区间[0，1]的中点为的关系,根据单调性分别得出最小值,列出等式求得m的值.

试题解析:

（1）因为，

所以∥，又与有公共点A，

所以A，B，C三点共线。

（2）因为=（1，cosx），=（1+sinx，cosx），

所以= + =（1+sinx，cosx），=-=（sinx，0），

故·=1+sinx+cos2x，||==sinx，

从而f（x）=·+（2m+）||+m2=1+sinx+cos2x+（2m+）sinx+m2

=cos2x+（2m+1）sinx+1+m2=-sin2x+（2m+1）sinx+2+m2，

关于sin x的二次函数的对称轴为sin x=，

因为x [0， ]，所以sin x [0，1]，又区间[0，1]的中点为。

①当≤，即m≤0时，当sinx=1时，f（x）min=m2+2m+2，

由f（x）min=5得m=-3或m=1，又m≤0，所以m=-3；

②当>，即m>0时，当sinx=0时，f（x）min=2+m2，

由f（x）min=5得m=，又m>0，所以m=。

综上所述：m的值为-3或。

点睛:平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.