Question

【题目】【2018甘肃兰州市高三一诊】已知圆： ，过且与圆相切的动圆圆心为．

（I）求点的轨迹的方程；

（II）设过点的直线交曲线于， 两点，过点的直线交曲线于， 两点，且，垂足为（， ， ， 为不同的四个点）．

①设，证明： ；

②求四边形的面积的最小值．

Answer 1

【答案】（I）．（II）①见解析．②．

【解析】试题分析：

（1）设动圆半径为，由于在圆内，圆与圆内切，由题意可得 ，则点的轨迹是椭圆，其方程为.

（2）①由题意可知，而， ， ， 为不同的四个点，故.

②若或的斜率不存在，四边形的面积为.否则，设的方程为，联立直线方程与椭圆方程可得，同理得，则 ，当且仅当时等号成立.则四边形的面积取得最小值为.

试题解析：

（1）设动圆半径为，由于在圆内，圆与圆内切，

则， ， ，

由椭圆定义可知，点的轨迹是椭圆， ， ， ，

的方程为.

（2）①证明：由已知条件可知，垂足在以为直径的圆周上，

则有，

又因， ， ， 为不同的四个点， .

②解：若或的斜率不存在，四边形的面积为.

若两条直线的斜率存在，设的斜率为，

则的方程为，

解方程组，得 ，

则，

同理得，

∴ ，

当且仅当，即时等号成立.

综上所述，当时，四边形的面积取得最小值为.