Question

【题目】已知下列四个命题：
①函数f（x）= x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）在区间（ ，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点；
②函数f（x）=log2（x+ ），g（x）=1+ 不都是奇函数；
③若函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（x+1），且f（1）=2，则f（7）=﹣2；
④设x1、x2是关于x的方程|logax|=k（a＞0且a≠1）的两根，则x1x2=1，
其中正确命题的序号是 ．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：①函数f（x）= x﹣lnx（x＞0），
则y=f（x）在区间（ ，1）内f（x）＞0恒成立，此时函数无零点，
f（1）f（e）＜0，故在区间（1，e）内有零点；
故①正确；
②函数f（x）=log2（x+ ）定义域为R，关于原点对称，
f（﹣x）+f（x）=log2（﹣x+ ）+log2（x+ ）=log21=0，
即f（﹣x）=﹣f（x），故为奇函数；
g（x）=1+ = 定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
g（﹣x）= = =﹣g（x），故为奇函数；
故②错误；
③若函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（x+1），且f（1）=2，
则f（1）=﹣f（3）=f（5）=﹣f（7），
∴f（7）=﹣2；
故③正确；
④设x1、x2是关于x的方程|logax|=k（a＞0且a≠1）的两根，则logax1=﹣logax2 ，
即logax1+logax2=logax1x2=0，即x1x2=1，
故④正确；
所以答案是：①③④．
【考点精析】掌握命题的真假判断与应用是解答本题的根本，需要知道两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．