Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2 ， g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（其中max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值）．记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（ ）
A.a2﹣2a﹣16
B.a2+2a﹣16
C.﹣16
D.16

Answer 1

【答案】C
【解析】解：f（x）=g（x），
即x2﹣2（a+2）x+a2=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8，
即x2﹣2ax+a2﹣4=0，
解得x=a+2或x=a﹣2．
f（x）与g（x）的图象如图．
由图象及H1（x）的定义知H1（x）的最小值是f（a+2），
H2（x）的最大值为g（a﹣2），
A﹣B=f（a+2）﹣g（a﹣2）
=（a+2）2﹣2（a+2）2+a2+（a﹣2）2﹣2（a﹣2）2+a2﹣8=﹣16．
解法二：令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．
①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；
②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；
③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．
综上可知：（I）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，
H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，
（II）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；
（III）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），
H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），
故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，
∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．
故选C．


【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．