Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面底面，为中点，.

（I）在线段上是否存在点,使得//平面，指出点的位置并证明；

（II）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）存在，为线段的中点；（II）.

【解析】

试题分析：（I）连结，由三角形的中位线长定理可知，再由线面平行的判定定理可证得//平面；（II）取中点，则，，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，是平面的一个法向量，设平面的一个法向量是，再求即可.

试题解析：

（I）存在点，为线段的中点，

证明：如图，连结，

因为底面是正方形，所以与互相平分，

又因为是中点，所以是中点，

所以，

又因为，，

所以；

（II）取中点，

在中，因为，所以，

因为面底面，且面面，

所以，

因为，所以，

又因为是的中点，所以，

以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

因为，所以，则，

，

于是，

因为，所以是平面的一个法向量，

设平面的一个法向量是，

因为，所以，即，

令，则，

所以，

由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.