Question

【题目】已知函数f(x)=ex-x2+a,x∈R的图象在x=0处的切线方程为y=bx.(e≈2.718 28)

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)当x∈R时,求证:f(x)≥-x2+x;

(3)若f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 解析式为f(x)=ex-x2-1;(2)见解析;（3）实数k的取值范围为(-∞,e-2).

【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得，再结合，解方程组得（2）作差函数，根据导数求其单调性，根据单调性确定其最小值，即证得不等式，(3)先分离变量，转化为求对应函数g(x)=的最小值，再根据导数求g(x)单调性，由单调性确定其最小值取法，即得实数k的取值范围.

试题解析：(1)解 ∵f(x)=ex-x2+a,

∴f'(x)=ex-2x.

由已知,得

解得

∴函数f(x)的解析式为f(x)=ex-x2-1.

(2)证明 令φ(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,则φ'(x)=ex-1.

由φ'(x)=0,得x=0.

当x∈(-∞,0)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减;

当x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增.

故φ(x)min=φ(0)=0,从而f(x)≥-x2+x.

(3)解 f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立>k对任意的x∈(0,+∞)恒成立.

令g(x)=,x>0,

则g'(x)=

=

=.

由(2)可知当x∈(0,+∞)时,ex-x-1>0恒成立,

由g'(x)>0,得x>1;由g'(x)<0,得0<x<1.

故g(x)的递增区间为(1,+∞),递减区间为(0,1),即g(x)min=g(1)=e-2.

故k<g(x)min=g(1)=e-2,即实数k的取值范围为(-∞,e-2).