Question

【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;

(2)证明:b2>3a;

(3)若f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）b=,定义域为(3,+∞)；（2）见解析；（3）a的取值范围为(3,6].

【解析】试题分析：（1）先根据极值定义得x=-为导函数f'(x)的极值点，再根据f=0得b关于a的函数关系式,最后根据有极值条件得b-0,解得定义域;（2）因为.所以根据导数可得其单调性，根据单调性可证不等式（3）根据韦达定理化简f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和+2，消去b得-a2+,再利用导数研究其单调性，根据单调性解不等式，即得a的取值范围.

试题解析：(1)解 由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f'(x)=3x2+2ax+b=3+b-.

当x=-时,f'(x)有极小值b-.

因为f'(x)的极值点是f(x)的零点,

所以f=-+1=0,又a>0,故b=.

因为f(x)有极值,故f'(x)=0有实根,从而b-(27-a3)≤0,即a≥3.

当a=3时,f'(x)>0(x≠-1),故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;

当a>3时,f'(x)=0有两个相异的实根x1=,

x2=.

列表如下:

x	(-∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

故f(x)的极值点是x1,x2.

从而a>3.

因此b=,定义域为(3,+∞).

(2)证明 由(1)知,.

设g(t)=,则g'(t)=.

当t∈时,g'(t)>0,从而g(t)在上单调递增.

因为a>3,所以a>3,故g(a)>g(3)=,即.

因此b2>3a.

(3)解 由(1)知,f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-a,.

从而f(x1)+f(x2)=+a+bx1+1++a+bx2+1=(3+2ax1+b)+(3+2ax2+b)+a()+b(x1+x2)+2=+2=0.

记f(x),f'(x)所有极值之和为h(a),因为f'(x)的极值为b-=-a2+,

所以h(a)=-a2+,a>3.

因为h'(a)=-a-<0,于是h(a)在(3,+∞)上单调递减.

因为h(6)=-,于是h(a)≥h(6),故a≤6.

因此a的取值范围为(3,6].