Question

【题目】设函数f(x)=ex-1-x-ax2.

(1)若a=0,求f(x)的单调区间;

(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增；（2）a的取值范围为.

【解析】试题分析：（1）求导数，再求导函数零点，根据导函数符号确定单调区间，（2）当自变量大于零时分离变量： ，再利用导数求函数单调性，根据单调性确定最值取法，利用洛必达法则求函数最小值，即得a的取值范围

试题解析：(1)当a=0时,f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1.

当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.

故f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.

(2)f'(x)=ex-1-2ax.

由(1)知f(x)≥f(0),即ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立,故f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x.

当a≤时,1-2a≥0,f'(x)≥0(x≥0),f(x)在[0,+∞)上是增函数,

因为f(0)=0,于是当x≥0时,f(x)≥0.符合题意.

当a>时,由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0).

所以f'(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),

故当x∈(0,ln 2a)时,f'(x)<0,而f(0)=0,于是当x∈(0,ln 2a)时,f(x)<0.不符合题意.

综上可得a的取值范围为.