Question

【题目】将一张纸沿直线l对折一次后，点A（0，4）与点B（8，0）重叠，点C（6，8）与点D（m，n）重叠．
（1）求直线l的方程；
（2）求m+n的值；
（3）直线l上是否存在一点P，使得||PB|﹣|PC||存在最大值，如果存在，请求出最大值，以及此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设线段AB的中点为N，则点N（4，2），且

则直线l的方程为2x﹣y﹣6=0

（2）解：设直线CD的方程为x+2y+C'=0

∵C（6，8）在直线CD上，∴C'=﹣22，则直线CD的方程为x+2y﹣22=0

设直线CD与直线l的交点为M，

则 ，∴

（3）解：假设直线l上存在点P，

∵||PB|﹣|PC||=||PA|﹣|PC||≥|AC|

当且仅当P，A，C三点共线时，等号成立

直线AC的方程为x﹣3y+12=0

∴ ，∴P（6，6）

【解析】（1）设线段AB的中点为N，则点N（4，2），且 ，即可求出直线l的方程；（2）求出直线CD的方程，可得直线CD与直线l的交点坐标，即可求m+n的值；（3）假设直线l上存在点P，利用||PB|﹣|PC||=||PA|﹣|PC||≥|AC|，得出结论．