Question

【题目】已知， 。

（1）写出的解析式与定义域；

（2）画出函数的图像；

（3）试讨论方程的根的个数。

Answer 1

【答案】(1)定义域 （2）见解析（3）时，方程有一解； 时，方程有两解； 时，方程无解。

【解析】试题分析：（1）根据表达式，得出函数f（x）的定义域是（﹣2，+∞），将H（x）化成分段函数的形式．

（2）得到函数y=H（x﹣1）+2的分段表达式，进而可以作出它的图象；

（3）根据图象可以得到，当m=2或m≥10时，直线y=m与函数y=H（x﹣1）+2图象有且仅有一个公共点；当2＜m＜10时，直线y=m与函数y=H（x﹣1）+2图象有两个公共点；当m＜2时，直线y=m与函数y=H（x﹣1）+2图象没有公共点．由此则不难得出方程根的个数了．

试题解析：

（1）的定义域为，

（2）=，

（3）在同一坐标系里作出直线y=m，观察它与函数y=H（x）图象的交点的个数，可得

①当m=2或m≥10时，直线y=m与函数y=H（x﹣1）+2图象有且仅有一个公共点；②当2＜m＜10时，直线y=m与函数y=H（x﹣1）+2图象有两个公共点；③当m＜2时，直线y=m与函数y=H（x﹣1）+2图象没有一个公共点

由此可得：当m∈{2}∪[10，+∞）时，方程H（x﹣1）+2=m有且仅有一个实数根；

时，方程有一解；

时，方程有两解； 时，方程无解。