Question

【题目】已知椭圆的离心率为，抛物线的准线被椭圆截得的线段长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，点分别是椭圆的左顶点、左焦点直线与椭圆交于不同的两点（都在轴上方）．且．证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线过定点

【解析】

（1）根据题意可得1，a2＝2b2，求解即可.

（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式将条件转化，即可求k，m的关系式，代入直线方程即可求出定点.

（1）由题意可知，抛物线的准线方程为，又椭圆被准线截得弦长为，

∴点在椭圆上，∴，① 又，∴，

∴，②，由①②联立，解得，∴椭圆的标准方程为：，

（2）设直线，设，

把直线代入椭圆方程，整理可得，，即，

∴，，

∵，∵都在轴上方．且，∴，

∴，即，

整理可得，∴，

即，整理可得，

∴直线为，∴直线过定点.