Question

【题目】已知圆过点，，且圆心在直线上，过点作直线与圆：交于两点，.

（1）求圆的方程；

（2）当时，若于圆交于，且，求直线的方程；

（3）若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或.

【解析】

（1）设圆的方程为：，代入已知条件求得即可；

（2）验证直线斜率不存在时，满足题意，直线斜率存在时，设其方程为，由求出两圆心到直线的距离，由勾股定理求得两弦长，由求得．

（3）记中点为，则，设，，则，，由勾股定理得的关系，消去后可把表示为的函数，由可得的范围．

（1）设圆的方程为：，

则解得.

圆的方程为.

（2）当直线斜率不存在时，直线方程为，

，，符合题意；

直线斜率存在时，设直线的方程为，即，

此时，到直线的距离为，到直线的距离为，

，.

若，则，解得.

直线的方程为.

综上，直线的方程为或.

（3）设是中点，则，设，，则，，

，

又，，

或.