Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），记f[2]（x）=f（f（x）），例：f（x）=x2+1，
则f[2]（x）=（f（x））2+1=（x2+1）2+1；
（1）f（x）=x2﹣x，解关于x的方程f[2]（x）=x；
（2）记△=（b﹣1）2﹣4ac，若f[2]（x）=x有四个不相等的实数根，求△的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：当f（x）=x2﹣x时，则：f[2]（x）=（x2﹣x）2﹣（x2﹣x）=x4﹣2x3+x；

那么：f[2]（x）=x；即：x4﹣2x3+x=x；

解得：x=0或x=2

（2）解：根据新类型的定义：f（f（x））=x，令f（x）﹣x=t，

则f（x）﹣t=x，f（x）=t+x，

则有：f（t+x）=f（x）﹣t．即a（t+x）2+b（t+x）+c=ax2+bx+c﹣t，

化简可得：at2+（2ax+b+1）t=0，

解得：t=0或t= ．

当t=0时，即ax2+bx+c=x，有两个不相同的实数根，可得（b﹣1）2﹣4ac＞0．

当t= 时，ax2+bx+c=x ，整理可得： ，

∴△= =（b+1）2﹣4ac+4（b+1）=（b﹣1）2﹣4ac﹣4

∵有两个不相同的实数根△＞0．

∴（b﹣1）2﹣4ac﹣4＞0，即（b﹣1）2﹣4ac＞4．

综上所得△=（b﹣1）2﹣4ac的取值范围是（4，+∞）

【解析】（1）根据新类型的定义，求解f[2]（x），再解方程即可．（2）换元思想，根据新类型的定义：f（f（x））=x，令f（x）﹣x=t，则f（x）﹣t=x，f（x）=t+x，则有：f（t+x）=f（x）﹣t．带入二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），求出t，t又是二次函数的值，即ax2+bx+c=t
函数必有两个根，△＞0．化简可得（b﹣1）2﹣4ac的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．