Question

【题目】已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若对于任意 都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0 =0，解得b=1，

f（x）= ，又由f（1）=﹣f（﹣1） ，解得a=2

（2）证明：由（1）可得：f（x）= = ．

x1＜x2，∴ ＞0，

则f（x1）﹣f（x2）= = ＞0，

∴f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）在R上是减函数

（3）解：∵函数f（x）是奇函数．

∴f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，等价于f（kx2）＞﹣f（2x﹣1）=f（1﹣2x）成立，

∵f（x）在R上是减函数，∴kx2＜1﹣2x，

∴对于任意 都有kx2＜1﹣2x成立，

∴对于任意 都有k＜ ，

设g（x）= ，

∴g（x）= = ，

令t= ，t∈[ ，2]，

则有 ，∴g（x）min=g（t）min=g（1）=﹣1

∴k＜﹣1，即k的取值范围为（﹣∞，﹣1）

【解析】（1）直接根据函数是奇函数，满足f（﹣x）=﹣f（x），把x=0，和x=1代入，即可得到关于a，b的两个等式，解方程组求出a，b的值．（2）利用减函数的定义即可证明．（3）f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，等价于f（kx2）＞﹣f（2x﹣1）=f（1﹣2x），即k＜ 成立，设g（x）= ，
换元使之成为二次函数，再求最小值．
【考点精析】关于本题考查的函数奇偶性的性质，需要了解在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能得出正确答案．