Question

【题目】已知函数f（x）=xm﹣ ，且f（3）= ．
（1）求函数f（x）的解析式，并判断函数f（x）的奇偶性．
（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（3）= ，可知m=1，

所以函数的解析式为f（x）=x﹣

又因为函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，

且f（﹣x）=（﹣x）﹣（﹣ ）=﹣（x﹣ ）=﹣f（x），由函数奇偶性定义可知，

函数f（x）=x﹣ 为奇函数

（2）证明：设x1，x2是区间（0，+∞）上任意两个实数，且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣ ）﹣（x2﹣ ）=（x1﹣x2）（1+ ），

因为0＜x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，1+ ＞0，

所以f（x1）＜f（x2）．

所以函数f（x）=x﹣ 在区间（0，+∞）是单调递增函数

【解析】（1）代入法求出m的值，求出f（x）的解析式，根据函数奇偶性的定义判断即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可．
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和函数的奇偶性，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称即可以解答此题．