Question

【题目】已知：函数且.

（1）求定义域；

（2）判断的奇偶性，并说明理由；

（3）求使的的解集．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是奇函数；（3）.

【解析】试题分析：（1）利用对数函数的指数大于零，列出不等式组，解不等式组即可求解函数的定义域．（2）利用对数的运算法则可得,结合函数的定义域关于原点对称，可得为奇函数．（3）利用对数函数的单调性与定义域化简不等式即可求解不等式．

试题解析：（1）由题意得 ，即﹣2＜x＜2．∴f（x）的定义域为（﹣2，2）；

（2）∵对任意的x∈（﹣2，2），﹣x∈（﹣2，2）

f（﹣x）=loga（2﹣x）﹣loga（2+x）=﹣f（x），

∴f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）是奇函数；

（3）f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）＞0，即log2（2+x）＞loga（2﹣x），

∴当a∈（0，1）时，可得2+x＜2﹣x，即﹣2＜x＜0．

当a∈（1，+∞）时，可得2+x＞2﹣x，即x∈（0，2）.