Question

【题目】已知定义域为的单调递减的奇函数，当时， .

（1）求的值；

（2）求的解析式；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）根据函数为奇函数得，结合当时， ，即可求出的值；（2）由定义域为的函数是奇函数，知．当时， ，由函数是奇函数，知，由此能求出的解析式；（3）由是上单调递减的奇函数， ，得即恒成立，再由根的判别式小于零即可求出实数的取值范围．

试题解析：（1）f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（﹣2）=；

（2）∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，

∴f（0）=0，

当x＜0时，﹣x＞0，

f（﹣x）=﹣﹣2﹣x ，

又∵函数f（x）是奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）=+2﹣x ，

综上所述f（x）=．

（3）∵f（1）=﹣＜f（0）=0，

且f（x）在R上单调，

∴f（x）在R上单调递减，

由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，

得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），

∵f（x）是奇函数，

∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），

又∵f（x）是减函数，

∴t2﹣2t＞k﹣2t2

即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，

∴△=4+12k＜0得k＜﹣，即为所求．