Question

【题目】已知平面向量 =（1，x）， =（2x+3，﹣x）（x∈R）．
（1）若 ∥ ，求| |
（2）若 与 夹角为锐角，求x的取值范围．
（3）若| |=2，求与 垂直的单位向量 的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：若 ，则﹣x﹣（2x+3）x=0，解得x=0或x=﹣2，

当x=0时， =（﹣2，0），∴| |=2，

当x=﹣2时， =（2，﹣4），∴| |=2

（2）解：若 与 夹角为锐角，则 ＞0，即2x+3﹣x2＞0，∴﹣1＜x＜3，

由（1）可知当x=0时， ，此时 ， 的夹角为0，不符合题意，舍去，

∴x的取值范围是（﹣1，0）∪（0，3）

（3）解：∵| |=2，∴1+x2=4，解得x=± ，

设 =（m，n），则m+nx=0，且m2+n2=1，

∴当x= 时， ，解得 或 ；

当x=﹣ 时， ，解得 或 ，

所以当x= 时， 的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ ， ），

当x=﹣ 时， 的坐标为（ ， ）或（﹣ ，﹣ ）

【解析】（1）根据向量平面列方程解出x，求出 的坐标即可得出| |；（2）令cos＜ ＞＞0，解出x，再去掉 共线的情况即可；（3）根据| |=2计算x，设 =（m，n），列方程组解出即可．