【题目】已知函数，其中， ， 是自然对数的底数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设函数，证明： .

参考答案：

【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据导函数零点情况分类讨论：当时，仅有一个零点1；当时，两个相同的零点；当及时，两个不同的零点，最后根据导函数符号变化规律确定单调性，（2）先等价转化所证不等式： ①且②，然后分别利用导数研究函数最值： 的最小值为 ， 的最小值为

试题解析：（Ⅰ）

（1）当时， ，当， ；当， ；

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，令，得，

由得，由得或，

所以在， 上单调递增，在上单调递减.

（3）当时，令， ，故在上递增.

（4）当时，令，得，

由得，由得或，

所以在， 上单调递增，在上单调递减.

综上，当时， 在上单调递减，在上单调递增.

当时， 在， 上单调递增，在上单调递减.

当时， 在上递增.

当时， 在， 上单调递增，在上单调递减.

（Ⅱ） ①且②

先证①：令，则，

当， ， 单调递减；当， ， 单调递增；

所以 ，故①成立！

再证②：由（Ⅰ），当时， 在上单调递减，在上单调递增，

所以 ，故②成立！

综上， 恒成立.

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