Question

【题目】已知椭圆过点,且离心率

（1）求椭圆的标准方程

（2）是否存在过点的直线交椭圆与不同的两点,且满足 (其中为坐标原点)。若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在直线或满足题意.

【解析】

(1)根据已知得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得解.(2)对直线l的斜率分类讨论，直线的斜率必存在,不妨设为，设直线的方程为,即，联立直线和椭圆的方程得到,得到，把韦达定理代入向量的数量积，得到k的值.即得直线的方程.

（1）∵椭圆过点,且离心率

,解得,

∴椭圆的方程为

（2）假设存在过点的直线交椭圆于不同的两点,且满足

若直线的斜率不存在,且直线过点,则直线即为轴所在直线

∴直线与椭圆的两不同交点就是椭圆短轴的端点,

∴直线的斜率必存在,不妨设为,

∴可设直线的方程为,即

联立,消得,

∵直线与椭圆相交于不同的两点,

得: 或①

设,

又,

化简得,

或,经检验均满足①式，

∴直线的方程为: 或，

∴存在直线或满足题意.