Question

【题目】已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，点是坐标平面内一点，且， （为坐标原点）.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过该点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的坐标为.

【解析】试题分析：（1）设的坐标，利用和求得c，通过椭圆的离心率求得a，最后利用a,b和c的关系求出b，则椭圆的方程可得.

（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设， ，则可根据韦达定理表示出和，假设在y轴上存在定点，满足题设，则可表示出，利用，求出m的值

试题解析：（1）设， ， ，则由，得；

由得，

即.

所以.

又因为，所以.

因此所求椭圆的方程为： .

（2）设动直线的方程为： ，

由得.

设， ，则， .

假设在轴上是否存在定点，满足题设，则， .

由假设得对于任意的， 恒成立，

即解得.

因此，在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过该点，

点的坐标为.