Question

【题目】已知向量 ，其中．函数的图象过点，点与其相邻的最高点的距离为4．

（Ⅰ）求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）计算的值；

（Ⅲ）设函数，试讨论函数在区间 [0，3] 上的零点个数．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f（x），由题意求得ω，再由函数f（x）的图象过点B（1，2）列式求得．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝1+sin，可得f（x）是周期为4的周期函数，且f（1）＝2，f（2）＝1，f（3）＝0，f（4）＝1．得到f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4．

进一步可得结论；

（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣1，函数g（x）在[0，3]上的零点个数，即为函数y＝sin的图象与直线y＝m在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．

（Ⅰ）∵（，cos2（ωx+φ）），（，），

∴f（x）cos2（ωx+）＝1﹣cos2（ωx+）），

∴f（x）max＝2，则点B（1，2）为函数f（x）的图象的一个最高点．

∵点B与其相邻的最高点的距离为4，∴，得ω．

∵函数f（x）的图象过点B（1，2），∴，即sin2φ＝1．

∵0＜，∴．

∴f（x）＝1﹣cos2（）＝1+sin，

由，得，．

的单调递减区间是，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝1+sin，

∴f（x）是周期为4的周期函数，且f（1）＝2，f（2）＝1，f（3）＝0，f（4）＝1．

∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4．

而2017＝4×504+1，

∴f（1）+f（2）+…+f（2017）＝4×504+2＝2018；

（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣1，函数g（x）在[0，3]上的零点个数，

即为函数y＝sin的图象与直线y＝m在[0，3]上的交点个数．

在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：

①当m＞1或m＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点；

②当﹣1≤m＜0或m＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点；

③当0≤m＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点．

综上，当m＞1或m＜﹣1时，函数g（x）在[0，3]上无零点；

②当﹣1≤m＜0或m＝1时，函数g（x）在[0，3]内有1个零点；

③当0≤m＜1时，函数g（x）在[0，3]内有2个零点．