Question

【题目】已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=ax2+bx+8（0＜a＜4），点A（2，0）在函数f（x）的图象上，且关于x的方程f（x）+1=0有两个相等的实根．

（1）求函数f（x）解析式；

（2）若x∈[t，t+2]（t＞0）时，函数f（x）有最小值1，求实数t的值．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=（2）

【解析】

（1）定义域为R的奇函数f（x），则f（0）＝0，在结合f（﹣x）＝﹣f（x）可得x＜0的解析式；

（2）根据x∈[t，t+2]（t＞0）时，可得f（x）＝x2﹣6x+8，根据对称轴讨论最小值即可求解t的值.

（1）定义域为R的奇函数f（x），则f（0）＝0，

当x＞0时，f（x）＝ax2+bx+8（0＜a＜4），点A（2，0）在函数f（x）的图象上，

∴4a+2b+8＝0，即b＝﹣2a﹣4……①．

关于x的方程f（x）+1＝0有两个相等的实根．

即ax2+bx+9＝0有两个相等的实根．

那么b2﹣36a＝0……②

由①②解得：a＝1或a＝4（舍去）；b＝﹣6．

则当x＞0时，f（x）＝x2﹣6x+8；

当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝x2+6x+8＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣x2－6x﹣8

∴函数f（x）解析式f（x）；

（2）由x∈[t，t+2]（t＞0）时，可得f（x）＝x2﹣6x+8，

其对称轴x＝3；

当0＜t＜1时，可得f（x）在区间x∈[t，t+2]上单调递减，

可得f（x）min＝f（t+2）＝（t+2）2﹣6（t+2）+8＝1

解得：t＝1±（舍去），

当1≤t≤3时，可得f（x）在区间x∈[t，t+2]上不单调，可得f（x）min＝f（3）≠1；

当t＞3时，可得f（x）在区间x∈[t，t+2]上单调递增，

可得f（x）min＝f（t）＝t2﹣6t+8＝1；

解得：t

∴满足题意的t

函数f（x）有最小值1，实数t的值为．