Question

【题目】在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．

（1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；

（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）当x＝时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米;

（2）当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．

【解析】试题分析：（1）矩形纸板的面积为，故当时， ，列出关于纸盒侧面积函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得最大值；

（2）列出盒子体积的函数解析式，利用导数求解函数的单调性、最值，即可得到结论。

试题解析：

（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a＝90时，b＝40，

从而包装盒子的侧面积

S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x)

＝－8x2＋260x，x∈(0，20) ．

因为S＝－8x2＋260x＝－8(x－)2＋，

故当x＝时，侧面积最大，最大值为 平方厘米．

答：当x＝时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米．

（2）包装盒子的体积

V＝(a－2x)(b－2x) x＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈(0，)，b≤60．

V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4x＋4x2)

＝x(3600－240x＋4x2)

＝4x3－240x2＋3600x． 当且仅当a＝b＝60时等号成立．

设f (x)＝4x3－240x2＋3600x，x∈(0，30)．

则f ′ (x)＝12(x－10)(x－30)．

于是当0＜x＜10时，f ′ (x)＞0，所以f (x)在(0，10)上单调递增；

当10＜x＜30时，f ′ (x)＜0，所以f (x)在(10，30)上单调递减．

因此当x＝10时，f (x)有最大值f (10)＝16000， 此时a＝b＝60，x＝10．

答：当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．