Question

【题目】已知函数f（x）=﹣ x3+ x2﹣2x（a∈R）
（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a﹣1）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=3时函数f（x）=﹣ x3+ x2﹣2x，

函数f（x）=﹣ x3+ x2﹣2x=﹣ x3+ x2﹣2x，

∴f′（x）=﹣x2+3x﹣2，

﹣x2+3x﹣2＞0，即1＜x＜2

﹣x2+3x﹣2＜0即x＞2，x＜1．

所以函数f（x）的单调增区间（1，2），单调递减区间为（﹣∞，1），（2，+∞）

（2）解：对于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a﹣1）成立，

﹣x2+ax﹣2＜2（a﹣1），即x2﹣ax+2a＞0，△=a2﹣8a，g（x）=x2﹣ax+2a，

当△＜0时0＜a＜8，不等式成立．

当△≥0时，即a≥8，a≤0，g（1）＞0， ≤1

﹣1＜a≤0，

综上实数a的取值范围：﹣1＜a＜8

【解析】（1）运用导函数求解判断，（2）转化为二次函数问题求解，讨论对称轴，单调性．
【考点精析】关于本题考查的基本求导法则和利用导数研究函数的单调性，需要了解若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．