Question

【题目】已知a是实数，函数f(x)＝ (x－a)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值．

①写出g(a)的表达式；

②求a的取值范围，使得－6≤g(a)≤－2.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解 (1)函数的定义域为[0，＋∞)，

f′(x)＝＋＝ (x>0)．

若a≤0，则f′(x)>0，f(x)有单调递增区间[0，＋∞)．

若a>0，令f′(x)＝0，得x＝，

当0<x<时，f′(x)<0，

当x>时，f′(x)>0.

f(x)有单调递减区间[0，]，有单调递增区间(，＋∞)．

(2)①由(1)知，若a≤0，f(x)在[0,2]上单调递增，

所以g(a)＝f(0)＝0.

若0<a<6，f(x)在[0，]上单调递减，在(，2]上单调递增，

所以g(a)＝f()＝－.

若a≥6，f(x)在[0,2]上单调递减，所以g(a)＝f(2)＝ (2－a)．

综上所述，g(a)＝

②令－6≤g(a)≤－2.若a≤0，无解．

若0<a<6，解得3≤a<6.

若a≥6，解得6≤a≤2＋3.

故a的取值范围为3≤a≤2＋3.