Question

【题目】已知椭圆：（）的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；

（3）设为坐标原点，取上不同于的点，以为直径作圆与相交另外一点，求该圆面积的最小值时点的坐标．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)运用抛物线的定义求解；(3)借助题设运用圆与抛物线的位置关系探求.

试题解析：

（1）由，得，再由，解得……………………1分

由题意可知，即…………………………………………………2分

解方程组得，……………………………………………………3分

所以椭圆的方程是……………………………………………………………4分

（2）因为，所以动点到定直线：的距离等于它到定点的距离，所以动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，…………………………………………6分

所以点的轨迹的方程为………………………………………………………7分

（3）因为以为直径的圆与相交于点，所以，即…8分

设，，，

所以

因为，，化简得……………………………………9分

所以，

当且仅当即，时等号成立．…………………………10分

圆的直径

因为，所以当即时，，…………………11分

所以所求圆的面积的最小时，点的坐标为………………………………12分