Question

【题目】已知函数，曲线在点处切线与直线垂直(其中为自然对数的底数).

（1）求的解析式及单调减区间；

（2）是否存在常数，使得对于定义域的任意恒成立，若存在，求出 的值；若

不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)，减区间为和；(2).

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用导数的几何意义求解；(2)借助题设分离参数构造函数运用导数的知识探求.

试题解析：

（1）函数的定义域为，又由题意有：，所以，故.此时，，由,解得或.所以函数的单调减区间为和.

（2）要恒成立，即，即.①当时，,则要恒成立，令，则,令，则,所以在内递减，所以当时，，故，所以在内递增，，故.②当时，, 则要恒成立. 由①可知，当时，,所以在内递增，所以当时，,故,所以在内递增,，故. 综合① ②可得:, 即存在常数满足题意.