Question

【题目】已知函数，a为常数

（1）判断f（x）在定义域内的单调性

（2）若f（x）在上的最小值为，求a的值

Answer 1

【答案】(1) f（x）的单调增区间为,单调减区间为,

(2) a＝－

【解析】试题分析：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝.，由此利用导数性质能求出f（x）在（0，+∞）上单调递增．

（2）由（1）根据a的取值范围分类讨论，由此利用导数性质能求出a的值．

试题解析：

(1)由题意f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.

当a0时， (x)>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．

当a<0时，令 (x)>0 ，得x>-a；令 (x)<0 ，得x<-a,

所以f（x）的单调增区间为,单调减区间为

(2)由(1)可知，f′(x)＝.

①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝－a＝，所以a＝－(舍去)．

②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，所以f(x)min＝f(e)＝1－＝a＝－(舍去)．

③若－e<a<－1，令f′(x)＝0得x＝－a，当1<x<－a时，f′(x)<0，所以f(x)在[1，－a]上为减函数；当－a<x<e时，f′(x)>0，所以f(x)在[－a，e]上为增函数，所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝a＝－.

综上所述，a＝－.