Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且a1=1，Sn+1﹣2Sn=1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=n+ ，求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：a1=1，Sn+1﹣2Sn=1，

即为Sn+1+1=2（Sn+1），

即有数列{Sn+1}是以S1+1=2，2为公比的等比数列，

则Sn+1=22n﹣1=2n，

即Sn=2n﹣1，n∈N*，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，

上式对n=1也成立，

则数列{an}的通项公式为an=2n﹣1，n∈N*

（2）解：bn=n+ =n+n（ ）n﹣1，

前n项和Tn=（1+2+3+…+n）+[11+2（ ）+3（ ）2+…+n（ ）n﹣1]，

设Mn=11+2（ ）+3（ ）2+…+n（ ）n﹣1，

Mn=1 +2（ ）2+3（ ）3+…+n（ ）n，

相减可得， Mn=1+ +（ ）2+（ ）3+…+（ ）n﹣1﹣n（ ）n

= ﹣n（ ）n，

化简可得Mn=4﹣（n+2）（ ）n﹣1，

则Tn= n（n+1）+4﹣（n+2）（ ）n﹣1

【解析】（1）由题意可得Sn+1+1=2（Sn+1），即有数列{Sn+1}是以S1+1=2，2为公比的等比数列，运用等比数列的通项公式和数列的递推式，可得所求通项公式；（2）求出bn=n+ =n+n（ ）n﹣1 ， 运用数列的求和方法：分组求和和错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．