Question

【题目】已知函数.

(1)当时,求在区间上的最大值和最小值;

(2)若在区间上,函数的图像恒在直线下方,求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， （Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间上为增函数，所以为最小值， 为最大值，即可求出；（2）令，则的定义域为.证在区间上恒成立即得证.求出分区间讨论函数的增减性得到函数的极值，利用极值求出的范围即可.

试题解析：（1）当时， ， ；

对于，有，

所以在区间上为增函数，

所以， ．

（2）令，则的定义域为．

在区间上，函数的图象恒在直线下方的等价于在区间上恒成立．

∵ ，

①若，令，得极值点， ，

当，即时，在上有，

此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；

当，即时，同理可知， 在区间上是增函数，有，不合题意；

②若，则有，此时在区间上恒有，

从而在区间上是减函数；

要使在此区间上恒成立，只需满足，即，

由此求得的范围是．

综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方．