Question

【题目】已知椭圆的离心率为短轴顶点在圆上.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）已知点，若斜率为1的直线与椭圆相交于两点，试探究以为底边的等腰三角形是否存在？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为，由题意可得：，且，由此能求出椭圆的方程；（Ⅱ）以为底的等腰三角形存在．设斜率为1的直线的方程为，代入中，得：，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线的方程.

试题解析：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为，由题意可得：得

所以，椭圆的方程为.

（Ⅱ）以为底的等腰三角形存在.理由如下：

设斜率为1的直线的方程为，代入中，

化简得：，①

因为直线与椭圆相交于两点，所以由解得②

设，则；③

于是的中点满足；

已知点，若以为底的等腰三角形存在，

则，即，④将 代入④式，

得满足②

此时直线的方程为.