Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+x2+bx（a为实常数）．
（1）若a=﹣2，b=﹣3，求f（x）的单调区间；
（2）若b=0，且a＞﹣2e2 ， 求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）设b=0，若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=﹣2，b=﹣3时，f（x）=﹣2lnx+x2﹣3x，定义域为（0，+∞），

，

在（0，+∞）上，f′（2）=0，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，

所以函数f（x）的单调增区间为（2，+∞）；单调减区间为（0，2）；

（2）解：因为b=0，所以f（x）=alnx+x2 ，

x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]，

（i） 若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），

故函数f（x）在[1，e]上是增函数，

此时[f（x）]min=f（1）=1；

（ii）若﹣2e2＜a＜﹣2，a+2＜0，a+2e2＞0，

，x∈[1，e]，

当 时，f'（x）=0， ，

当 时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；

当 时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．

故 ；

（3）解：b=0，f（x）=alnx+x2不等式f（x）≤（a+2）x，

即alnx+x2≤（a+2）x可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．

因为x∈[1，e]，所以lnx≤1≤x且等号不能同时取，

所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而 （x∈[1，e]），

令 （x∈[1，e]），又 ，

当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，

从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，

故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以实数a的取值范围是[﹣1，+∞）

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（3）问题转化为 （x∈[1，e]），令 （x∈[1，e]），根据函数的单调性求出a的范围即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．