Question

【题目】已知椭圆C的左右顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），椭圆上除A、B外的任一点C满足kACkBC=﹣ ．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（4，0）任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM+∠PQN=180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明现由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0），

设椭圆上的任意一点C（x，y），∵kACkBC=﹣ ，

∴ =﹣ ，整理化为： =1．

点A（﹣2，0），B（2，0），也满足上述方程，

∴椭圆C的标准方程为： =1

（2）解：假设在x轴上存在点Q，使得∠PQM+∠PQN=180°，

设直线QM，QN的斜率存在，分别设为k1，k2，等价于k1+k2=0．

设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立 ，化为：（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣4=0，

则△=256k4﹣4（2k2+1）（32k2﹣4）＞0，化为k2 ．

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2= ，x1x2= ，

设Q（m，0），则k1+k2= + =0．又y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），

化为：k（x1﹣4）（x2﹣m）+k（x2﹣4）（x1﹣m）=0，

∴k=0，或2x1x2﹣（m+4）（x1+x2）+8m=0，

∴2× ﹣（m+4）× +8m=0，化为：m﹣1=0，解得m=1．

k=0时也成立．

综上可得：在x轴上存在点Q（1，0），使得∠PQM+∠PQN=180°

【解析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0），设椭圆上的任意一点C（x，y），由kACkBC=﹣ ，利用斜率计算公式可得 =﹣ ，整理化简即可得出．（2）假设在x轴上存在点Q，使得∠PQM+∠PQN=180°，设直线QM，QN的斜率存在，分别设为k1 ， k2 ， 等价于k1+k2=0．设直线l的方程为y=k（x﹣4），与椭圆方程联立化为：（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣4=0，设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），设Q（m，0），则k1+k2= + =0．化为：k（x1﹣4）（x2﹣m）+k（x2﹣4）（x1﹣m）=0，把根与系数的关系代入即可得出．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．