Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣lnx．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=x﹣t，若函数h（x）=g（x）﹣f（x）在[ ，e]上（这里e≈2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数定义域为（0，+∞）

f′（x）=2x﹣ = ，

所以函数的单调减区间为（0， ）单调增区间为（ ，+∞）

（2）解：函数函数h（x）=g（x）﹣f（x）=x﹣t﹣x2+lnx在[ ，e]恰有两个不同的零点，

等价于t=x﹣x2+lnx在[ ，e]恰有两个不同的实数根

令k（x）=x﹣x2+lnx则k′（x）=﹣

当x∈（ ，1）时，k′（x）＞0，k（x）在（ ，1）递增，

当（1，e）时，k′（x）＜0，k（x）在（1，e）递减）

故kmax（x）=k（1）=0，k（ ）= ﹣1，k（e）=﹣e2+e+1，

所以t∈[ ﹣1，﹣e2+e+1]

【解析】（1）求解f′（x）=2x﹣ ，利用不等式得出单调性即可．（2）转化为t=x﹣x2+lnx在[ ，e]恰有两个不同的实数根，构造函数令k（x）=x﹣x2+lnx利用k′（x）=﹣ 求解最值．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．