Question

【题目】对于定义域为R的函数f（x），若满足①f（0）=0；②当x∈R，且x≠0时，都有xf'（x）＞0；③当x1≠x2 ， 且f（x1）=f（x2）时，x1+x2＜0，则称f（x）为“偏对称函数”． 现给出四个函数：g（x）= ；φ（x）=ex﹣x﹣1．
则其中是“偏对称函数”的函数个数为 ．

Answer 1

【答案】2
【解析】经验证，g（x），h（x），Φ（x），φ（x）都满足条件①； xf′（x）＞0 ，或 ．即条件②等价于函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．
而容易验证g（x）是奇函数，由及函数的性质可知g（x）在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调性相同，故g（x）不满足条件②．
由复合函数的单调性法则知h（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，显然在（0，+∞）上单调递增，故h（x）满足条件②．
Φ′（x）=﹣3x2+3x，xΦ′（x）=﹣3x3+3x2=﹣3x2（x﹣1），当x＞1时，xΦ′（x）＜0，故Φ（x）不满足条件②．
φ′（x）=ex﹣1，xφ′（x）=x（ex﹣1），满足条件②．
故由条件②可排除g（x）和Φ（x）；
由函数h（x）的单调性知：当x1≠x2 ， 且h（x1）=h（x2）时，x1x2＜0，不妨设x1＜0＜x2 ．
则ln（﹣x1+1）=2x2 ， 设F（x）=ln（x+1）﹣2x，x＞0．则F′（x）= ＜0，F（x）在（0，+∞）上是减函数，
所以F（x2）＜F（0）=0，即ln（x2+1）＜2x2 ， 即ln（x2+1）＜ln（﹣x1+1），所以x2+1＜﹣x1+1，即x1+x2＜0，故h（x）也满足条件③，所以h（x）是“偏对称函数”．
由φ（x）的单调性知当x1≠x2 ， 且φ（x1）=φ（x2）时，x1x2＜0，不妨设x1＜0＜x2 ．
则 ，﹣x2＜0，φ（x1）﹣φ（﹣x2）=φ（x2）﹣φ（﹣x2）= ．
令F（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，F′（x）= ，当且仅当ex=e﹣x即x=0时，“=”成立，
所以F（x）在[0，+∞）上是增函数，所以F（x2）＞F（0）=0，即φ（x1）﹣φ（﹣x2）＞0，所以φ（x1）＞φ（﹣x2），所以x1＜﹣x2 ， 所以x1+x2＜0．所以φ（x）是“偏对称函数”．
所以答案是：2
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的值和利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．