Question

【题目】已知函数（是自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】根据题意，若函数f（x）=﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，

则方程﹣x3+1+a=﹣3lnx在区间[，e]上有解，

﹣x3+1+a=﹣3lnxa+1=x3﹣31nx，即方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，

设函数g（x）=x3﹣31nx，其导数g′（x）=3x2﹣ = ，

又由x∈[，e]，g′（x）=0在x=1有唯一的极值点，

分析可得：当≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，

当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，

故函数g（x）=x3﹣31nx有最小值g（1）=1，

又由g（）= +3，g（e）=e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），

故函数g（x）=x3﹣31nx有最大值g（e）=e3﹣3，

故函数g（x）=x3﹣31nx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；

若方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，

必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，

即a的取值范围是[0，e3﹣4]；