Question

【题目】如图，三棱柱中， .

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ）平面 平面， ，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：

(1)利用题意首先证得，然后利用线面垂直的定义即可证得题中的结论；

(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量和直线的方向向量可得直线与平面所成角的正弦值是.

试题解析：

（1）证明：如图所示，取的中点，连接， ， .因为，

所以.由于， ，

故为等边三角形，所以.

因为，所以.

又，故

（2）由（1）知， ，又，交线为，

所以，故两两相互垂直.

以为坐标原点， 的方向为轴的正方向， 为单位长，建立如图（2）所示的空间直角坐标系.由题设知，

则， ， .

设是平面的法向量，

则即可取故.

所以与平面所成角的正弦值为