Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）求证：函数和在公共定义域内，恒成立；

（3）若存在两个不同的实数，，满足，求证：．

Answer 1

【答案】（1）增区间为,减区间为；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】分析：（1）构造函数，对函数求导，得到得到导函数的正负，进而得到单调区间和极值；（2）构造函数,对函数和求导研究函数的单调性进而得到函数的最值，使得最小值大于2即可；（3）要证原式只需要证，故得到即证：，变量集中设即可,转化为关于t的不等式.

详解：

(1)函数的定义域为,,

故当时,,当时,,

故函数的单调增区间为,单调减区间为;

(2)证明:函数和的公共定义域为,

,

设,则在上单调递增,故;

设,当时有极大值点,

;故;

故函数和在公共定义域内,.

(3)证明:不妨设,由题意得,

,;所以;

而要证,只需证明;

即证明;即证明;

即证明,;令,则;

即证明;设;

则,故函数在区间上是增函数,

所以,即;所以不等式成立.