Question

【题目】已知函数，.

(Ⅰ)当时，求证：过点有三条直线与曲线相切；

(Ⅱ)当时，，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).

【解析】试题分析：

(1)，设直线与曲线相切，其切点为，求出切线方程，且切线过点，可得，判断方程有三个不的根，则结论易得；

(2) 易得当时，，设，则，设，则，分、两种情况讨论函数的单调性并求出最小值，即可得出结论；

法二：

(1)同法一得，设，求导判断函数的单调性，判断函数的零点个数，即可得出结论；

(2)同法一.

试题解析：

解法一：(Ⅰ)当时，，

设直线与曲线相切，其切点为，

则曲线在点处的切线方程为：，

因为切线过点，所以，

即，

，，

设，

,,,

在三个区间,,上至少各有一个根

又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程恰有三个根，

故过点有三条直线与曲线相切.

(Ⅱ)当时，，即当时，

当时，，

设，则，

设，则.

(1)当时，，从而(当且仅当时，等号成立)

在上单调递增，

又当时，，从而当时，，

在上单调递减，又，

从而当时，，即

于是当时，，

(2)当时，令，得

故当时,,

在上单调递减，

又当时，，

从而当时，，

在上单调递增，又，

从而当时，，即

于是当时，，

综合得的取值范围为.

解法二：(Ⅰ)当时，，

，

设直线与曲线相切，其切点为，

则曲线在点处的切线方程为，

因为切线过点，所以，

即，

，

设，则，令得

当变化时，变化情况如下表：

恰有三个根，

故过点有三条直线与曲线相切.

(Ⅱ)同解法一.