Question

【题目】已知函数f（x）=2 sin（ + ）sin（ ﹣ ）﹣sin（π+x），且函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x= 对称．
（1）若存在x∈[0， ），使等式[g（x）]2﹣mg（x）+2=0成立，求实数m的最大值和最小值
（2）若当x∈[0， ]时不等式f（x）+ag（﹣x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= sin（x+ ）+sinx= cosx+sinx=2sin（x+ ）．

函数y=g（x）的图象上取点（x，y），关于直线x= 对称点的坐标为（ ﹣x，y），

代入f（x）=2sin（x+ ），可得y=2sin（ ﹣x），

x∈[0， ），则 ﹣x∈[ ， ]，∴y∈[1，2]，

等式[g（x）]2﹣mg（x）+2=0，可化为m=y+ ，

∴y= 时，m的最小值为2 ；m=1或2时，m的最大值为3

（2）解：当x∈[0， ]时，f（x）∈[﹣ ，1]，g（﹣x）∈[﹣1，1]，

∵当x∈[0， ]时不等式f（x）+ag（﹣x）＞0恒成立，

∴a 或a

【解析】（1）先求出f（x），g（x）的解析式，确定g（x）∈[1，2]，等式[g（x）]2﹣mg（x）+2=0，可化为m=y+ ，即可求实数m的最大值和最小值（2）当x∈[0， ]时，f（x）∈[﹣ ，1]，g（﹣x）∈[﹣1，1]，利用当x∈[0， ]时不等式f（x）+ag（﹣x）＞0恒成立，求a的取值范围．