Question

【题目】函数f（x）是这样定义的：对于任意整数m，当实数x满足不等式|x﹣m|＜ 时，有f（x）=m．
（1）求函数f（x）的定义域D，并画出它在x∈D∩[0，3]上的图象；
（2）若数列an=2+10（ ）n ， 记Sn=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（an），求Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域是D={x||x﹣m|＜ }

={x|m﹣ ＜x＜m+ ，m∈Z}

图象如图所示

（2）解：由于an=2+10（ ）n，

所以f（an）= ，

当n=1时，S1=6，

n=2时，S2=f（a1）+f（a2）=6+4=10，

n=3时，S3=f（a1）+f（a2）+f（a3）=6+4+3=13，

n＞3时，Sn=6+4+3+2（n﹣3）=2n+7，

因此Sn=

【解析】（1）利用绝对值不等式的解法，解|x﹣m|＜ ，可得定义域，并画出图象．（2）分别求出f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an），考查数列{f（an ）} 的性质，再求和．
【考点精析】利用数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．